Александр Михайлович родился в Царицыне, получил домашнее образование, с ранних лет помогал в коммерции отцу, который имел небольшую колесную мастерскую. Открыл лабаз комиссионных товаров, а после смерти отца на скопленные 500 рублей, при помощи новочеркасского богатого казака Д.П. Шапошникова, начал лесное дело.
В 1883 году А.М. Шлыков построил свой первый лесопильный завод в Царицыне. При лесопильном заводе также была открыта мукомольная мельница, кирпичный, чугунно-меднолитейный механический и котельный заводы. В 1898 году А. М. Шлыков построил второй лес-пильный завод близ Царицына у станции Бекетовской.
Крупные доходы давали возможность строительства новых зданий в Царицыне, в частности дома на ул. Дубовской, где с 1910 г. размещалась 4-я женская гимназия Царицына, сейчас в здании расположен Казачий театр.

В период его руководства городом население Царицына возросло почти вдвое, город развивался как промышленный центр и транспортный узел. А.М. Шлыков способствовал составлению плана города, упорядочению в названиях улиц, сооружению в городе водопровода, устройству мостовых и земляных сооружений, отводу места под постройку земской больницы и т. д.

На благотворительные цели он жертвует более 100 тыс. рублей. А.М. Шлыков был почетным членом попечительского совета Царицынского приюта для девочек, открытого в 1893 г. Будучи церковным старостой Вознесенского храма, пожертвовал более 25 тыс. руб. на его нужды, в том числе приобрел двухэтажный дом для священника, диакона и псаломщиков. Был старостой Крестовоздвиженской церкви, построенной в 1903 году на Сенной площади на его же средства. По духовному завещанию А.М. Шлыкова часть его средств направлена на строительство храма во имя Святого Благоверного Князя Александра Невского.